Affixe et opérations sur les vecteurs

Proposition

Soit \(\vec{w}\) et `\vec{w}'` deux vecteurs du plan complexe. Soit `k \in \mathbb{R}` .

•   \(z_{\vec{w}}=z_{\vec{w}'} \Longleftrightarrow \vec{w}=\vec{w}'\)
  
• \(z_{\vec{w}+\vec{w}'}=z_{\vec{w}}+z_{\vec{w}'}\)
  
• \(z_{k\vec{w}}=kz_{\vec{w}}\)
  

\(\) Démonstration

On note `z_{\vec{w}}=x+iy` l'affixe de `\vec{w}` et `z_{\vec{w}'}=x'+iy'` l'affixe de `\vec{w}'` .

• On a :
  \(\begin{align*} z_{\vec{w}}=z_{\vec{w}'} & \ \ \Longleftrightarrow \ \ x+iy=x'+iy' \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ x=x' \ \text{ et } \ y=y' \ \text{ par unicité de la forme algébrique} \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \vec{w}=\vec{w}'. \end{align*}\)
• Dans le repère \((O;\vec{u},\vec{v})\) , le vecteur `\vec{w}+\vec{w}'` a pour coordonnées \(\vec{w}+\vec{w}'\binom{x+x'}{y+y'}\)
  et donc  \(\begin{align*} z_{\vec{w}}+z_{\vec{w}'} & = (x+x')+i(y+y') =(x+iy)+(x'+iy') =z_{\vec{w}}+z_{\vec{w}'}. \end{align*}\)
  
• Dans le repère `(O;\vec{u},\vec{v})` , le vecteur \(k\vec{w}\) a pour coordonnées \(k\vec{w}\binom{kx}{ky}\)  
  et donc  \(\begin{align*} z_{k\vec{w}} & = (kx)+i(ky) =k(x+iy) =kz_{\vec{w}}. \end{align*}\)